一、实验目的
- 研究玻尔共振仪中摆轮的振动特性，理解自由振动、阻尼振动和受迫振动的区别与联系。
- 测定扭摆系统的固有频率 $\omega_0$ 和阻尼系数 $\beta$。
- 观察共振现象，绘制幅频特性曲线和相频特性曲线。
- 理解品质因数 $Q$ 的物理意义，掌握其对共振锐度的影响。
- 通过相图（$\omega$-$\theta$）直观理解振动系统从暂态到稳态的演化过程。
二、实验仪器
| 仪器名称 | 功能 | 关键参数 |
|---|
| 玻尔共振仪 | 提供扭摆振动系统 | 摆轮 + 螺旋弹簧 + 阻尼线圈 + 驱动电机 |
| 阻尼线圈 | 提供可调电磁阻尼 | 驱动电压 0~10V，阻尼随电压非线性增大 |
| 驱动电机 | 提供周期性驱动力 | PWM 调速，频率范围 0.1~1.2 Hz |
| 角度传感器 | 实时测量摆轮偏转角 | 采样率 100Hz，精度 ±0.1° |
| 数据采集系统 | 记录并处理振动数据 | 自动检测峰值、计算参数 |
三、实验原理
3.1 扭摆的运动方程
玻尔共振仪的核心是一个由螺旋弹簧支承的摆轮。摆轮在运动时受到三种力矩的作用：
- 弹性恢复力矩：$M_k = -k\theta$，方向指向平衡位置，$k$ 为弹簧的扭转常数
- 阻尼力矩：$M_r = -r\dot{\theta}$，包括空气阻尼和电磁阻尼，$r$ 为阻尼系数
- 周期性驱动力矩：$M_d = F_0 \cos(\omega t)$，由驱动电机提供
根据转动定律 $I\ddot{\theta} = \sum M$，摆轮的运动方程为：
$$I\ddot{\theta} + r\dot{\theta} + k\theta = F_0\cos(\omega t)$$
令 $\omega_0^2 = k/I$，$2\beta = r/I$，$f_0 = F_0/I$，化简为标准形式：
$$\ddot{\theta} + 2\beta\dot{\theta} + \omega_0^2\theta = f_0\cos(\omega t)$$
其中 $\omega_0$ 为系统固有角频率，$\beta$ 为阻尼系数。
3.2 自由振动（$\beta = 0$, $f_0 = 0$）
当无阻尼、无驱动力时，摆轮做简谐振动：
$$\theta(t) = A_0\cos(\omega_0 t + \varphi_0)$$
振动周期 $T_0 = 2\pi/\omega_0$，固有频率 $f_0 = 1/T_0 = \omega_0/(2\pi)$。
📝 实验中：由于空气阻尼不可避免，实际观察到的是衰减振动。但当阻尼很小时，可近似认为振动频率等于固有频率。
3.3 阻尼振动（$\beta \neq 0$, $f_0 = 0$）
当存在阻尼但无驱动力时，方程的解为（欠阻尼情况 $\beta < \omega_0$）：
$$\theta(t) = A_0 e^{-\beta t}\cos(\omega_d t + \varphi_0), \quad \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2}$$
振幅按指数规律衰减：$A(t) = A_0 e^{-\beta t}$。通过测量相邻两次振幅的比值，可计算对数减缩：
$$\delta = \ln\frac{A_n}{A_{n+1}} = \beta T_d \approx \beta T_0$$
进而求得阻尼系数 $\beta = \delta / T_0$。
📝 阻尼来源：本实验中阻尼由两部分组成——空气阻尼（固定）和电磁阻尼（可通过线圈电压调节）。总阻尼 $\beta = \beta_{\text{air}} + \beta_{\text{em}}(U)$，其中电磁阻尼随电压非线性增大。
3.4 受迫振动（$\beta \neq 0$, $f_0 \neq 0$）
在周期性驱动力作用下，经过一段暂态过程后，系统达到稳态，做与驱动力同频率的简谐振动：
$$\theta(t) = A\cos(\omega t - \varphi)$$
其中稳态振幅和相位差分别为：
$$A = \frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (2\beta\omega)^2}}$$
$$\varphi = \arctan\frac{2\beta\omega}{\omega_0^2 - \omega^2}$$
幅频特性
- 当 $\omega \ll \omega_0$ 时：$A \approx f_0/\omega_0^2$（振幅很小，几乎不随频率变化）
- 当 $\omega = \omega_0$ 时：$A = f_0/(2\beta\omega_0)$（共振，振幅最大）
- 当 $\omega \gg \omega_0$ 时：$A \approx f_0/\omega^2 \to 0$（高频时摆轮几乎不动）
相频特性
- 当 $\omega \ll \omega_0$ 时：$\varphi \approx 0°$（响应与驱动力同相）
- 当 $\omega = \omega_0$ 时：$\varphi = 90°$（响应落后驱动力 $\pi/2$）
- 当 $\omega \gg \omega_0$ 时：$\varphi \approx 180°$（响应与驱动力反相）
3.5 共振现象
当驱动频率接近固有频率时，振幅出现极大值，称为共振。共振频率为：
$$\omega_r = \sqrt{\omega_0^2 - 2\beta^2}$$
⚠ 注意：当 $\beta \to 0$ 时，$\omega_r \to \omega_0$，共振振幅 $A \to \infty$。真实实验中必须加阻尼以防损坏设备。本仿真平台提供「无阻尼模式」可安全演示此极限情况。
3.6 品质因数 Q
品质因数是描述共振锐度的物理量，其定义有多种等价形式：
$$Q = \frac{\omega_0}{2\beta} = \frac{\pi}{\delta} = \frac{\omega_r}{\Delta\omega}$$
其中 $\Delta\omega$ 为幅频曲线半功率点宽度。$Q$ 值越大，共振峰越尖锐，系统选择性越好。
💡 物理意义：$Q$ 值约等于系统储存能量与每周期能量损耗之比的 $2\pi$ 倍。$Q$ 越大，能量损耗越慢。
3.7 相图分析
以位移 $\theta$ 为横坐标、速度 $\dot{\theta}$（即 $\omega$）为纵坐标，绘制相空间轨迹：
- 自由/阻尼振动：相图为向内收敛的螺旋线，反映能量逐渐耗散
- 受迫振动稳态：相图为稳定的椭圆（极限环），反映能量收支平衡
- 暂态过程：相图从初始螺旋逐渐过渡到极限环
📝 相图是理解非线性动力学的重要工具，本仿真平台可实时显示相图演化，这是真实实验中难以直观观察的。